Эволюция математических моделей процессов нестационарной тепло-(массо-) проводности в телах канонической формы

В настоящее время существует большое количество материалов, которые подвергаются термическому воздействию при их производстве. C точки зрения принципов геометрии их форма может быть сведена к классическим телам канонической формы: пластина, цилиндр, шар. При термической обработке твердых материалов (тепловлажностная обработка, сушка, обжиг) потенциалы переноса (температура, массосодержание) критически изменяются относительно времени процесса. При решении краевых задач тепло- и массо-(влаго-) проводности в аналогичных случаях предлагается применять зональный метод и метод микропроцессов. Основные позиции метода микропроцессов, применительно к моделированию краевых задач тепломассопереноса для тел канонической формы при граничных условиях первого рода (условиях Дирихле), были изложены в предыдущих статьях авторов. В настоящей работе изложена методика, основанная на методе микропроцессов при решении краевых задач тепло- и влагопроводности при более общих граничных условиях, условиях III рода (Римана-Ньютона). Высокая адаптивность этих условий заключается в том, что в зависимости от значений числа Био (Bi) они преобразуются в условие первого рода (Bi→0) или второго (Bi→∞). В работе показано, что для математического моделирования процессов тепломассопереноса в системах с твердой фазой на основе метода микропроцессов перспективным является поиск решений в области малых значений чисел Фурье (Fo <0,1). Приведены математические выкладки решения соответствующих краевых задач и показаны примеры результатов их численной реализации. Решение задач теплопроводности и диффузии для тел, в том числе канонической формы, получают в форме рядов Фурье, что характерно для условий с неравномерным начальным распределением потенциалов переноса теплоты и массы вещества, но решений для малых значений чисел Фурье в источниках не приводится. В то же время, с уменьшением времени процесса уменьшаются и числовые значения критериев Фурье и тем самым становится больше членов бесконечного ряда, что влечет за собой нарастание ошибки при дальнейших вычислениях. В работе приведены решения для тел канонической формы - пластины, цилиндра и сферы, также представлены номограммы безразмерной температуры поверхности тела в зависимости от значений чисел Био и Фурье при конкретных значениях числа Bi.

С.В. ФЕДОСОВ¹, академик РААСН, д-р техн. наук, профессор (Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.);
М.О. БАКАНОВ², советник РААСН, д-р техн. наук, доцент, начальник учебно-научного комплекса «Пожаротушение» (Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.)

¹ Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (129337, г. Москва, Ярославское ш., 26)
² Ивановская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, г. Иваново (153011, г. Иваново, пр-т Строителей, 33)

1. Федосов С.В., Баканов М.О. Применение метода «микропроцессов» для моделирования процессов теплопроводности и диффузии в телах канонической формы // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2020. Т. 63. Вып. 10. С. 90–95. DOI: 10.6060/ivkkt.20206310.6275
1. Fedosov S.V., Bakanov M.O. Application of the “microprocesses” method for modeling the processes of heat conduction and diffusion in bodies of canonical form. Izvestiya vuzov. Khimiya i khimicheskaya tekhnologiya. 2020. Vol. 63. Iss. 10, pp. 90–95. (In Russian) DOI:  10.6060/ivkkt.20206310.6275
2. Федосов С.В., Баканов М.О. Моделирование процессов теплопроводности и диффузии в телах канонической формы с применением метода «микропроцессов» для области малых значений числа Фурье // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2021. Т. 64. Вып. 10. С. 78–83. DOI: 10.6060/ivkkt.20216410.6387
2. Fedosov S.V., Bakanov M.O. Modeling of processes of heat conduction and diffusion in bodies of canonical form using the method of «microprocesses» for the region of small values of the Fourier number. Izvestiya vuzov. Khimiya i khimicheskaya tekhnologiya. 2021. Vol. 64. Iss. 10, pp. 78–83. (In Russian). DOI: 10.6060/ivkkt.20216410.6387
3. Баканов М.О. Моделирование высокотемпературных процессов в технологии пеностекла. Ч. 1. Формирование динамики циклических нестационарных двумерных температурных полей. Вестник Поволжского государственного технологического университета. Серия: Материалы. Конструкции. Технологии. 2021. № 2. С. 87–102. DOI: 10.25686/2542-114Х.2021.2.87
3. Bakanov M.O. Modeling of high-temperature processes in foam glass technology. Part 1: Formation of the dynamics of cyclic non-stationary two-dimensional temperature fields. Vestnik of the Volga State Technological University. Series: Materials. Constructions. Technologies. 2021. No. 2, pp. 87–102. (In Russian). DOI: 10.25686/2542-114Х.2021.2.87
4. Claesson J. Dynamic thermal networks: a methodology to account for time-dependent heat conduction. In book: Research in Building Physics. 2020. 1st Edition, pp. 407-415.
5. Stankevičius V., Barkauskas V. Pastatų atitvarų šiluminė fizika [Building physics]. Kaunas: Technologija. 2000. 286 p.
6. Pupeikis D., Stankevičius V., Burlingis A. The effect of the Fourier number on calculation of an unsteady heat transfer of building walls. Journal of Civil Engineering and Management. 2010. Vol. 16. No. 2, pp. 298–305. DOI:. No. https://doi.org/10.3846/jcem.2010.34
7. Hensen J.L.M., Nakhi A.E. Fourier and Biot numbers and the accuracy of conduction modelling. Proceedings of BEP’94 Conference. 1994, pp. 247–256.
8. Cuesta F.J., Lamúa M. Fourier series solution to the heat conduction equation with an internal heat source linearly dependent on temperature: application to chilling of fruit and vegetables. Journal of food engineering. 2009. Vol. 90. No. 2, pp. 291–299. https://doi.org/10.1016/j.jfoodeng.2008.06.036
9. Рудобашта С.П., Карташов Э.М. Диффузия в химико-технологических процессах. М.: КолосС, 2013. 478 с.
9. Rudobashta S.P., Kartashov E.M. Diffuziya v khimiko-tekhnologicheskikh protsessakh [Diffusion in chemical-technological processes]. Moscow: Kolos. 2013. 478 p.
10. Федосов С.В. Тепломассоперенос в технологических процессах строительной индустрии. Иваново: ИПК «ПресСто», 2010. 363 с.
10. Fedosov S.V. Teplomassoperenos v tekhnologicheskikh protsessakh stroitel’noy industrii [Heat and mass transfer in technological processes of the construction industry]. Ivanovo: IPK «PresSto». 2010. 363 p.
11. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
11. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [Theory of thermal conductivity]. Moscow: Vysshaya shkola. 1967. 600 p.
12. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963. 535 с.
12. Lykov A.V., Mikhailov Yu.A. Theory of heat and mass transfer. Moscow-Leningrad: Gosenergoizdat. 1963. 535 p.
13. Мамонтов А.Е. Методы математической физики: Учебное пособие. Новосибирск: НГПУ, 2016. 129 с.
13. Mamontov A.E. Metody matematicheskoy fiziki: uchebnoye posobiye [Methods of mathematical physics] Novosibirsk: NGPU. 2016. 129 p.
14. Шамин Р.В. Концентрированный курс высшей математики. М.: URSS, 2017. 398 с.
14. Shamin R.V. Kontsentrirovannyy kurs vysshey matematiki [Concentrated course of higher mathematics]. Moscow: URSS. 2017. 398 p.
15. Цой П.В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971. 384 с.
15. Tsoi P.V. Metody rascheta otdel’nykh zadach teplomassoperenosa [Methods for calculating individual problems of heat and mass transfer]. Moscow: Energiya. 1971. 384 p.
16. Wang C.C. Application of the maximum principle for differential equations in combination with the finite difference method to find transient approximate solutions of heat equations and error analysis. Numerical Heat Transfer. Part B: Fundamentals. 2009. Vol. 55. No. 1, pp. 56–72. https://doi.org/10.1080/10407790802557524
17. Šadauskienė, J., Buska A., Burlingis A., Bliūdžius R., Gailius A. The effect of vertical air gaps to thermal transmittance of horizontal thermal insulating layer. Journal of Civil Engineering and Management. 2009. Vol. 15 (3), pp. 309–315. DOI: 10.3846/1392-3730.2009.15.309-315.
18. Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложений. М.: URSS, 2018. 1080 с.
18. Kartashov E.M., Kudinov V.A. Analytical methods of the theory of heat conduction and its applications. Moscow: URSS. 2018. 1080 p. [Analytical methods of the theory of heat conduction and its applications]. Moscow: URSS. 2018. 1080 p.
19. Rudobashta S., Zuev N., Zueva G. Mathematical modeling and numerical simulation of seeds drying under oscillating infrared irradiation. Drying Technology. 2014. Vol. 32. No. 11, pp. 1352–1359. DOI: No. 10.1080 / 07373937.2014.892508
20. Rudobashta S., Zueva G. Drying of seeds through oscillating infrared heating. Drying Technology. 2016. Vol. 34. No. 5, pp. 505–515. DOI: No. 10.1080/07373937.2015.1060997
21. Рудобашта С.П., Зуева Г.А., Дмитриев В.М. Исследование массопроводных свойств слоя семян // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2017. № 60 (7). С. 72–77. DOI: 10.6060/tcct.2017607.5556
21. Rudobashta S.P., Zueva G.A., Dmitriev V.M. Study of the mass-conducting properties of the seed layer. Izvestiya vuzov. Chemistry and chemical technology. 2017. No. 60 (7), pp. 72–77. DOI: 10.6060/tcct.2017607.5556
22. Румянцева В.Е., Смельцов В.Л., Федосова Н.Л., Хрунов В.А., Костерин А.Я. Экспериментальные исследования процессов массопереноса при жидкостной коррозии цементных бетонов // Приволжский научный журнал. 2010. № 1 (13). С. 39–46.
22. Rumyantseva V.E., Smeltsov V.L., Fedosova N.L., Khrunov V.A., Kosterin A.Ya. Experimental studies of mass transfer processes during liquid corrosion of cement concretes. Privolzhskiy nauchnyy zhurnal. 2010. No. 1 (13), pp. 39–46. (In Russian).
23. Румянцева В.Е., Красильников И.В., Лавринович С.С., Виталова Н.М. Сравнительный анализ уравнений распределения температур по толщине железобетонной панели в процессах тепловлажностной обработки // Приволжский научный журнал. 2015. № 3 (35). С. 70–76.
23. Rumyantseva V.E., Krasilnikov I.V., Lavrinovich S.S., Vitalova N.M. Comparative analysis of the equations of temperature distribution over the thickness of a reinforced concrete panel in the processes of heat and moisture treatment. Privolzhskiy nauchnyy zhurnal. 2015. No. 3 (35), pp. 70–76.
24. Федосов С.В., Румянцева В.Е., Коновалова В.С., Гоглев И.Н. Явления массопереноса в системе «Цементный раствор – композитная пластиковая арматура» на стадии структурообразования композита. Ч. 1. Физические представления и математическая постановка задачи // Academia. Архитектура и строительство. 2020. № 1. С. 118–123.
24. Fedosov S.V., Rumyantseva V.E., Konovalova V.S., Goglev I.N. Mass transfer phenomena in the «Cement mortar-composite plastic reinforcement» system at the stage of composite structure formation. Part 1. Physical representations and mathematical formulation of the problem. Academia. Arkhitektura i stroitel’stvo. 2020. No. 1, pp. 118–123. (In Russian).
25. Красильников И.В., Красильникова И.А., Новикова У.А., Строкин К.Б. Способ аппроксимации аналитическими уравнениями экспериментальных данных о динамике массопереноса в теле строительных конструкций. Инженерные и социальные системы: Сборник научных трудов института архитектуры, строительства и транспорта ИВГПУ. Иваново, 2021. С. 11–18.
25. Krasilnikov I.V., Krasilnikova I.A., Novikova U.A., Strokin K.B. Method of approximation by analytical equations of experimental data on the dynamics of mass transfer in the body of building structures. In the collection: Engineering and social systems. Collection of scientific papers of the institute of architecture, construction and transport of IVSPU. Ivanovo. 2021, pp. 11–18. (In Russian).
26. Чернявская А.С., Бобков С.П. Моделирование процессов теплопереноса в движущейся жидкости // Вестник ИГЭУ. 2014. Вып. 4. С. 53–57.
26. Chernyavskaya A.S., Bobkov S.P. Modeling of heat transfer processes in a moving fluid. Vestnik of ISEU. 2014. Iss. 4, pp. 53–57. (In Russian).